घनफळ व पृष्ठफळ

सूत्राकडे वळण्यापूर्वी प्रत्येक घनाकृती डोळ्यांसमोर आणा.

• इष्टिकाचिती — विटेसारखी; लांबी ल, रुंदी रु, उंची उ. घनफळ ल×रु×उ; संपूर्ण पृष्ठफळ २(लरु + रुउ + उल); कर्ण √(ल² + रु² + उ²).
• घन — सर्व कडा समान (अ) असलेली इष्टिकाचिती. घनफळ अ³; पृष्ठफळ ६अ² (सहा समान चौरस पृष्ठे).
• चिती — गोल डब्यासारखी; त्रिज्या त्रि, उंची उ. घनफळ πत्रि²उ; वक्रपृष्ठफळ २πत्रिउ; संपूर्ण पृष्ठफळ २πत्रि(त्रि + उ) (वक्रपृष्ठ अधिक दोन गोल तळ).
• शंकू — त्याच तळावरची टोपी; त्रिज्या त्रि, उंची उ, तिरकी उंची ति = √(त्रि² + उ²). घनफळ १/३ πत्रि²उ; वक्रपृष्ठफळ πत्रि×ति.
• गोल — त्रि त्रिज्येचा चेंडू. घनफळ ४/३ πत्रि³; पृष्ठफळ ४πत्रि².

दोन सवयींनी हा विषय सोपा होतो:

1. शंकू म्हणजे त्याच तळाच्या व उंचीच्या चितीचा एक तृतीयांश हे लक्षात ठेवा. या एका संबंधामुळे शंकूचे वेगळे सूत्र पाठ करावे लागत नाही.
2. वितळवून पुन्हा घडवताना घनफळ कायम राहते. जुने घनफळ = नवे घनफळ; बाकी काहीही कायम राहत नाही. कडांचे गुणोत्तर क असेल तर घनफळांचे गुणोत्तर क³ असते — १२ कड असलेल्या घनापासून ३ कड असलेले (१२/३)³ = ६४ घन मिळतात, ४ नव्हे.

सर्वात सामान्य चूक म्हणजे घनफळ व पृष्ठफळ यांची गल्लत. पर्यायांतील एकक तपासा: घन सें.मी. म्हणजे घनफळ, चौ.सें.मी. म्हणजे पृष्ठफळ. त्रिज्या ७ च्या पटीत किंवा ३.५ असेल तेव्हा π = २२/७ घ्या — पेपरात तेच आकडे मुद्दाम निवडलेले असतात, म्हणजे सात रद्द होतात.

इष्टिकाचिती ल×रु×उ, २(लरु+रुउ+उल) · घन अ³, ६अ² · चिती πत्रि²उ, २πत्रिउ · शंकू १/३πत्रि²उ, πत्रि×ति · गोल ४/३πत्रि³, ४πत्रि² · वितळवल्यास घनफळ कायम

७ सें.मी. त्रिज्या व १० सें.मी. उंची असलेल्या चितीचे घनफळ काढा (π = २२/७). → घनफळ = πत्रि²उ = २२/७ × ७ × ७ × १०. छेदातील ७ मुळे एक ७ रद्द होतो व २२ × ७ × १० = १५४० घन सें.मी. उरते. एककांची व शेजारच्या राशींची पडताळणी: वक्रपृष्ठफळ २πत्रिउ = २ × २२/७ × ७ × १० = ४४० चौ.सें.मी. — वेगळी राशी, वेगळे एकक; आणि त्याच तळाच्या व उंचीच्या शंकूत १५४० ÷ ३ ≈ ५१३.३३ घन सें.मी. मावेल, म्हणजे नेमका एक तृतीयांश.